☛* Dé truqué

Énoncé

On dispose d'un dé truqué à six faces. On le lance et on s'intéresse à la face supérieure obtenue. On définit la loi de probabilité suivante, associée à cette expérience aléatoire.

\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Face} & 1&2&3&4&5&6 \\\hline \text{Probabilité} & 0,1 & 0,15 & 0,2 & 0, 2& \alpha &0,1 \\\hline \end{array}\)

1. Déterminer \(\alpha\).

2. Déterminer les probabilités des événements suivants.

• \(A\) : "Obtenir un nombre premier."
• \(B\) : "Obtenir au moins 4."
• \(C\) : "Obtenir au plus 2 ou plus de 5."

3. On considère l'évènement \(D\) : "Obtenir au moins 2."
    a. Décrire par une phrase l'événement \(\overline D\), événement contraire de \(D\).
    b. En déduire deux façons de calculer la probabilité de l'événement \(D\).

Solution

1. \(0,1+0,15+0,2+0,2+\alpha+0,1=1 \iff\alpha+0,72=1\iff \alpha=1-0,75=0,25\)

2. \(P(A)=P(\{2;3;5\})=P(\{2\})+P(\{3\})+P(\{5\})=0,15+0,2+0,25=0,25\)
\(\quad P(B)=P(\{4;5;6\})=P(\{4\})+P(\{5\})+P(\{6\})=0,2+0,25+0,1=0,55\)
\(\quad P(C)=P(\{1;2;6\})=P(\{1\})+P(\{2\})+P(\{6\})=0,1+0,15+0,1=0,35\)

3. a. \(\overline{D}\) :"Obtenir moins de \(2\)"="Obtenir \(1\)"

3. b. \(P(\overline{D})=P(\{1\})=0,1\)
Autre méthode : \(P(D)=P(\{2;3;4;5;6\})=0,15+0,2+0,2+0,25+0,1=0,9\)
Et donc \(P(\overline{D})=1-P(D)=1-0,9=0,1\)